今有甲、乙两名射手轮流循环对同一目标射击,先射中者为胜.设他们命中的概率分别为p1和p2.分别求出甲、乙获胜的概率.

设甲先射击,对前两次射击的结果用全概率公式.
P(甲) = P(甲|甲射中)P(甲射中) + P(甲|甲乙都不中)P(甲乙都不中) + P(甲|甲不中,乙中)P(甲不中,乙中)
= 1*p1 + P(甲)*(1-p1)*(1-p2) + 0*(1-p1)*p2
解这个方程得
.p1.p1
P(甲) = ----------------- = ----------------
.1-(1-p1)(1-p2).p1+p2-p1p2
于是
.p2-p1p2
P(乙) = 1- P(甲) = ----------------
.p1+p2-p1p2
解题的关键是利用两人都不中又回到初始状态的递推关系.
瑞典 Dalarna 大学统计系 07级 Maste

规定甲先射,答案是P(甲)=p1/(p1+p2-p1*p2)
P(乙)=(p2-p1*p2)/(p1+p2-p1*p2)
过程:设甲在第K轮胜的概率为p(k),则p(甲)=求和p(k) 对k从1到无穷,又p(k)=p1*((1-p1)(1-p2))^(k-1)计算可得
乙的概率P(乙)=1-P(甲)即得

甲p1/(p2+p1)乙p2/(p2+p1)