设f(X1,X2,X3)=2X1^2+2X2^2+2X3^+6X1X2+6X1X3+6X2X3 求一正交变换化f为标准,

二次型的矩阵为实对称矩阵A=第一行233第二行323第三行332,设其特征值为λ,则
|λE-A|=第一行λ-2 -3 -3第二行-3 λ-2 -3第三行-3 -3 λ-2,解该行列式（第二列、第三列加至第一列提取λ-8）得
特征多项式为f(λ)=(λ-8）(λ+1）^2,故特征根为单根λ=8,二重根λ=-1
将λ=8代入λE-A得其特征向量为k[1 1 1]T正交化为k[√3/3 √3/3 √3/3]T
而λ=-1特征向量为k1[1 -1 0]T+k2[1 0 -1]T,将其施密特正交化为k1[√2/2 -√2/2 0]T+k2[√6/6 √6/6 -√6/3]T
从而存在正交变换矩阵P=第一列√3/3 √3/3 √3/3第二列√2/2 -√2/2 0第三列√6/6 √6/6 -√6/3
使得当x=Py时,f(x1,x2,x3)=f(y1,y2,y3)=8y1^2-y2^2-y3^2
即二次型的标准型的矩阵为第一行8 0 0第二行0 -1 0第三行0 0 -1
显然该二次型是非正定的