已知抛物线y=x2+（2n-1）x+n2-1（n为常数）．

解题思路：（1）将原点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出n的值，然后根据抛物线顶点在第四象限将不合题意的n值舍去，即可得出所求的二次函数解析式；
（2）①先根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴另一交点E的坐标，根据抛物线和矩形的对称性可知：OB的长，就是OE与BC的差的一半，由此可求出OB的长，即B点的坐标，然后代入抛物线的解析式中即可求出B点纵坐标，也就得出了矩形AB边的长．进而可求出矩形的周长；
②思路同①可设出A点坐标（设横坐标，根据抛物线的解析式表示纵坐标），也就能表示出B点的坐标，即可得出OB的长，同①可得出BC的长，而AB的长就是A点纵坐标的绝对值，由此可得出一个关于矩形周长和A点纵坐标的函数关系式，根据函数的性质可得出矩形周长的最大值及对应的A的坐标．

（1）由已知条件，得n²-1=0
解这个方程，得n₁=1，n₂=-1
当n=1时，得y=x²+x，此抛物线的顶点不在第四象限．
当n=-1时，得y=x²-3x，此抛物线的顶点在第四象限．
∴所求的函数关系为y=x²-3x；
（2）由y=x²-3x，
令y=0，得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）
∴它的顶点为（[3/2]，−
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4），对称轴为直线x=[3/2]，其大致位置如图所示，
①∵BC=1，易知OB=[1/2]×（3-1）=1．
∴B（1，0）
∴点A的横坐标x=1，又点A在抛物线y=x²-3x上，
∴点A的纵坐标y=1²-3×1=-2．
∴AB=|y|=|-2|=2．
∴矩形ABCD的周长为：2（AB+BC）=2×（2+1）=6．
②∵点A在抛物线y=x²-3x上，故可设A点的坐标为（x，x²-3x），
∴B点的坐标为（x，0）．（0＜x＜[3/2]）
∴BC=3-2x，A在x轴下方，
∴x²-3x＜0，
∴AB=|x²-3x|=3x-x²
∴矩形ABCD的周长，
C=2[（3x-x²）+（3-2x）]=-2（x-[1/2]）²+[13/2]，
∵a=-2＜0，抛物线开口向下，二次函数有最大值，
∴当x=[1/2]时，矩形ABCD的周长C最大值为[13/2]．
此时点A的坐标为A（[1/2]，−
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4）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题主要考查二次函数解析式的确定以及二次函数的应用．