已知函数f(x)=1(1+x)n+aln(x+1)，其中n∈N*，a为常数．

解题思路：（I）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，最后求出极值；
（II）欲证f（b₁）+f（b₂）+…+f（b_k）≤k+1．先利用导数证当x≥0时，f（x）≤x+1，再结合b₁，b₂，…，b_k均非负数，且b₁+b₂+…+b_k=1，即得．

（Ⅰ）由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞-1}，
当n=2时，f(x)=
1
(1+x)2+aln(x+1)，
所以f′(x)=
a(1+x)2-2
(1+x)3.
（1）当a＞0时，由f′（x）=0得x1=-1+

2
a＞-1，x2=-1-

2
a＜-1，
此时f′（x）=
a(x-x1)(x-x2)
(x+1)3．
当x∈（1，x₁）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x₁+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）无极值．
综上所述，n=2时，
当a＞0时，f（x）在x=-1+

2
a处取得极小值，极小值为f(-1+

2
a)=
a
2(1+ln
2
a).
当a≤0时，f（x）无极值．
（Ⅱ）先证明当x≥0时，f（x）≤x+1，只要设g(x)=x+1-f(x)，则g′(x)=1+
n
(x+1)n+1-
1
x+1=
x
x+1+
n
(x+1)n+1＞0(x≥0)，
∴g（x）在[0，+∞）是增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，得证；
而b₁，b₂，…，b_k均非负数，且b₁+b₂+…+b_k=1，所以f（b₁）+f（b₂）+…+f（b_k）≤k+1．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；不等式的证明．

考点点评： 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．