一道数学题,求详解.设数列{an}满足a1＝a,an＋1＝an2＋a1,（1）当a∈（－∞,－2）时,求证：M；（2）当
一道数学题,求详解.
设数列{an}满足a1＝a,an＋1＝an2＋a1,
（1）当a∈（－∞,－2）时,求证：M；
（2）当a∈（0,］时,求证：a∈M；
（3）当a∈（ ,＋∞）时,判断元素a与集合M的关系,并证明你的结论．
设数列{an}满足a1＝a,an＋1＝an2＋a1,
（1）当a∈（－∞,－2）时,求证：M；
（2）当a∈（0,］时,求证：a∈M；
（3）当a∈（ ,＋∞）时,判断元素a与集合M的关系,并证明你的结论．
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证明：（1）如果a＜-2,则|a1|=|a|＞2,a∉M．
（2）当 0＜a≤1/4时,|an|≤1/2（∀n≥1）．
事实上,〔i〕当n=1时,|a1|=|a|≤1/2．
设n=k-1时成立（k≥2为某整数）,
则〔ii〕对n=k,|ak|≤|ak-1|²+a≤(1/2)2+1/4=1/2．
由归纳假设,对任意n∈N*,|an|≤ 1/2＜2,所以a∈M．
（3）当 a＞14时,a∉M．证明如下：
对于任意n≥1,an＞a＞1/4,且an+1=an²+a．
对于任意n≥1,an+1-an=an²-an+a=(an-1/2)²+a-1/4≥a-1/4,
则 an+1-an≥a-1/4．
所以,an+1-a=an+1-a1≥n(a-1/4)．
当 n＞(2-a)/(a-1/4)时,an+1≥n(a-1/4)+a＞2-a+a=2,
即an+1＞2,因此a∉M．
（2）当 0＜a≤1/4时,|an|≤1/2（∀n≥1）．
事实上,〔i〕当n=1时,|a1|=|a|≤1/2．
设n=k-1时成立（k≥2为某整数）,
则〔ii〕对n=k,|ak|≤|ak-1|²+a≤(1/2)2+1/4=1/2．
由归纳假设,对任意n∈N*,|an|≤ 1/2＜2,所以a∈M．
（3）当 a＞14时,a∉M．证明如下：
对于任意n≥1,an＞a＞1/4,且an+1=an²+a．
对于任意n≥1,an+1-an=an²-an+a=(an-1/2)²+a-1/4≥a-1/4,
则 an+1-an≥a-1/4．
所以,an+1-a=an+1-a1≥n(a-1/4)．
当 n＞(2-a)/(a-1/4)时,an+1≥n(a-1/4)+a＞2-a+a=2,
即an+1＞2,因此a∉M．
1年前
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