设函数y=f(x)定义在R上,当x>0时,f(x)>1,且对任意m,n∈R,有f(m+n)=f(m)f(n),当m≠n时
设函数y=f(x)定义在R上,当x>0时,f(x)>1,且对任意m,n∈R,有f(m+n)=f(m)f(n),当m≠n时有f(m)≠f(n).
证明：f（0）＝1 f（x）为增函数.
证明：f（0）＝1 f（x）为增函数.
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证明：
令m>0,n=0
则f(m)>1,f(m)≠0
f(m+n)=f(m)f(n)
f(m)=f(m)*f(0)
f(m)*(1-f(0))=0
∵f(m)≠0
∴1-f(0)=0
∴f(0)=1
令m=-n
1=f(0)=f(m+n)=f(m)*f(n)
=f(m)*f(-m)
∴f(m)与f(-m)同号
又∵x>0时,f(x)>1>0为正,
∴对所有x∈R,f(x)>0
对任意x1>x2∈R
f(x1)
=f(x2+(x1-x2))
=f(x2)*f(x1-x2)
>f(x2)*1
=f(x2)
因此f(x)为R上的增函数,证毕
如仍有疑惑,欢迎追问.
令m>0,n=0
则f(m)>1,f(m)≠0
f(m+n)=f(m)f(n)
f(m)=f(m)*f(0)
f(m)*(1-f(0))=0
∵f(m)≠0
∴1-f(0)=0
∴f(0)=1
令m=-n
1=f(0)=f(m+n)=f(m)*f(n)
=f(m)*f(-m)
∴f(m)与f(-m)同号
又∵x>0时,f(x)>1>0为正,
∴对所有x∈R,f(x)>0
对任意x1>x2∈R
f(x1)
=f(x2+(x1-x2))
=f(x2)*f(x1-x2)
>f(x2)*1
=f(x2)
因此f(x)为R上的增函数,证毕
如仍有疑惑,欢迎追问.
1年前 追问
2
多加练习思路自然就拓宽啦~
x<0时，f(x)*f(-x)=1>0,
说明x<0时，f(x)>0,
因此对所有实数x，都有f(x)>0
说明x<0时，f(x)>0,
因此对所有实数x，都有f(x)>0
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