如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从点D出发沿DA向中点A运动,同时动点Q从点A出发沿着对角线
如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从点D出发沿DA向中点A运动,同时动点Q从点A出发沿着对角线
AC向中点C运动.过点P做PE平行DC,交AC于点E,动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度,运动时间为x秒,当点P运动到点A时,P、Q两点同时停止运动.设PE=y；
（2）探究：当x为何值时,四边形PQBE 为梯形
（3）是否存在这样的点P和点Q,使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x值；若不存在,请说明理由
AC向中点C运动.过点P做PE平行DC,交AC于点E,动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度,运动时间为x秒,当点P运动到点A时,P、Q两点同时停止运动.设PE=y；
（2）探究：当x为何值时,四边形PQBE 为梯形
（3）是否存在这样的点P和点Q,使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x值；若不存在,请说明理由
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（（2）①显然,当QB∥PE时,四边形PQBE是矩形,非梯形,不合题意,舍去；
②当QP∥BE时,∠PQE=∠BEQ ∴∠AQP=∠CEB
∵AD∥BC ∴∠PAQ=∠BCE ∴⊿PAQ∽⊿BCE ----------- 6分
∴ 即：
∴ ----------- 8分
∴当 时,QP∥BE而QB与PE不平行,四边形PQBE是梯形.
（3）存在.分四种情况：
当Q在线段AE上时：QE=AE-AQ=
①当QE=PE时,∴
②当QP=QE时,∠QPE=∠QEP
∵∠APQ+∠QPE=90° ∠PAQ+∠QEP=90°
∴∠APQ=∠PAQ ∴AQ=QP=QE
∴ ∴
③当QP=PE时,过P作PF⊥QE于F,
则FE= QE=
∵PE∥DC ∴∠AEP=∠ACD
∴cos∠AEP= cos∠ACD=
∵cos∠AEP= ∴
④当点Q在线段EC上时,⊿PQE只能是钝角三角形,
∴PE=EQ 即：PE=AQ-AE
∴ ∴
综上,当4/3 或 20/13或28/27 或8/3 时,⊿PQE为等腰三角形.
②当QP∥BE时,∠PQE=∠BEQ ∴∠AQP=∠CEB
∵AD∥BC ∴∠PAQ=∠BCE ∴⊿PAQ∽⊿BCE ----------- 6分
∴ 即：
∴ ----------- 8分
∴当 时,QP∥BE而QB与PE不平行,四边形PQBE是梯形.
（3）存在.分四种情况：
当Q在线段AE上时：QE=AE-AQ=
①当QE=PE时,∴
②当QP=QE时,∠QPE=∠QEP
∵∠APQ+∠QPE=90° ∠PAQ+∠QEP=90°
∴∠APQ=∠PAQ ∴AQ=QP=QE
∴ ∴
③当QP=PE时,过P作PF⊥QE于F,
则FE= QE=
∵PE∥DC ∴∠AEP=∠ACD
∴cos∠AEP= cos∠ACD=
∵cos∠AEP= ∴
④当点Q在线段EC上时,⊿PQE只能是钝角三角形,
∴PE=EQ 即：PE=AQ-AE
∴ ∴
综上,当4/3 或 20/13或28/27 或8/3 时,⊿PQE为等腰三角形.
1年前
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