“贝特朗问题”：在半径为1的圆内随机地取一条弦,则其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少?

贝特朗(Brtrand)奇论
几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用．19世纪时,不少人相信,只要找到适当的等可能性描述,就可以给概率问题以唯一的解答,然而有人却构造出这样的例子,它包含着几种似乎都同样有道理但却互相矛盾的答案,下面就是一个著名的例子.
贝特朗奇论：在半径为1的圆内随机地取一条弦,问其长超过该圆内接等边三角形的边长 sqrt(3) 的概率等于多少?
解（一）任何弦交圆两点,不失一般性,先固定其中一点在圆周上,以此点为顶点作一等边三角形,显然只有落如此三角形内的弦才满足要求,这种弦的另一端跑过的弧长为整个圆周的1/3,故所求概率为1/2
（二）弦长只跟它与圆心的距离有关,而与方向无关,因此可以假定它与某一直径,当且仅当它与圆心的距离小于 1/2 时,其长度才大于sqrt(3) ,因此所求概率为 1/3
（三）弦长被其中心唯一确定,当且仅当其中点属于半径为 1/2 的同心圆内时,弦长大于sqrt(3) ,此小于圆的面积为大圆面积的1/4 ,因此所求的概率为1/4
同一问题有三种不同的答案,细究原因,发现是在取弦时采用不同的等可能性假设.在第一种解法中,假定端点在圆周上均匀分布,在第二种解法中则假定弦的中心在直径上均匀分布,而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布.这三种答案是针对三种不同的随机试验,对于各自的随机试验而言,它们都是正确的.
因此,在使用术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时,应明确指明含义,这又因试验而异.
1899年贝特朗在巴黎出版《概率论》,书中对几何概率提出了批评,并以生动的实例引起大家的注意.这种善意的批评,推动了概率论的发展.