以知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1，x∈R+），若x1，x2∈R+，判断[1/2[f(x1)+f(x2)]

解题思路：把f（x）的解析式代入f（x₁）+f（x₂）中，进而根据x₁x₂≤(

x1+x2

2

)2，根据对数函数的性质，当a＞1时判断出[1/2][f（x₁）+f（x₂）]≤f(

x1+x2

2

)，当0＜a＜1[1/2]（log_ax₁+log_ax₂）≥log_a(

x1+x2

2

)2，综合可得答案．

f（x₁）+f（x₂）=log_ax₁+log_ax₂=log_a（x₁x₂）
∵x₁，x₂∈R⁺，
∴x₁x₂≤(
x1+x2
2)2（当且仅当x₁=x₂时取“=”号）．当a＞1时，有log_a（x₁x₂）≤log_a(
x1+x2
2)2
∴
1
2]log_a（x₁x₂）≤log_a(
x1+x2
2) ，[1/2]（log_ax₁+log_ax₂）≤log_a(
x1+x2
2)，
即[1/2][f（x₁）+f（x₂）]≤f(
x1+x2
2)（当且仅当x₁=x₂时取“=”号）当0＜a＜1时，有log_a（x₁x₂）≥log_a(
x1+x2
2)2，
∴[1/2]（log_ax₁+log_ax₂）≥log_a(
x1+x2
2)2，
即[1/2][f（x₁）+f（x₂）]≥f(
x1+x2
2)
（当且仅当x₁=x₂时取“=”号）．

点评：
本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．

考点点评： 本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力．

因为f(设m=1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[loga(X1)+loga(X2)]=1/2loga(X1*X2),n=f[(X1+X2)/2]=loga[(X1+X2)/2],比较m、n大小即比较2m、2n大小,2m=loga(X1*X2),2n=2loga[(X1+X2)/2]=loga[(X1+X2)/2]^2。。[(X1+X2)/2]^2大于等于X1*X2,因此,当a>1时,n大于等于m,当0

1年前

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