1、一个房间中有100盏灯,用自然数1、2、.100编号,每盏灯各有一个开关,开始时,所有的灯都不亮,有100个人依次进

1）规律一：平方数有奇数个约数；非平方数有偶数个约数；
例如：4=1*4=2*2 有1、2、4---------共3个约数
15=1*15=3*5 有1、3、5、15----共4个约数
本题中,某灯的编号有几个约数,该灯开关就被按几次
显然：被按奇数次的灯最后是亮的,也就是说有奇数个约数的编号灯会亮
所以：那些编号为平方数的：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100----十盏灯会亮!
2）假设存在a满足条件；则有:a+13=x^2 ; a-13=y^2 (x、y都是整数）
前式--后式 有：26=（x+y)(x-y)
因为26=1*16=2*13 可知：x、y 无 正整数解；
所以满足条件的自然数a不存在!
3）设该数为x 则 x-100=a^2 ; x-63=b^2
后式减前式可得：37=(b+a)(b-a)
而37只能=1*37 所以b+a=37; b-a=1 解得：a=18;b=19
代入原式可得：x=424 即：这个数是 424 .

1 房间里还亮着的灯的编号是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100。
2 不存在
3 424

1、只有被按了奇数次开关的灯是亮着的，而每个开关被按到的次数，等于它的约数的个数（包含1和它自己），只有完全平方数的约数个数为奇数，所以最后剩下的亮灯是1~100中的所有完全平方数
2、设a+13=m^2，a-13=n^2，则m^2-n^2=26=(m-n)(m+n)=2x13=1x26，而m-n和m+n的奇偶性是相同的，所以不存在这样的m和n值
3、设A-100=m^2，A-63...