如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，异面直线A1B与B1C1所成的角为60°．

解题思路：（I）根据直三棱柱的性质可得AA₁⊥平面ABC，从而得到AC⊥AA₁，结合AC⊥AB证出AC⊥平面AA₁B₁B，由此即可得到AC⊥A₁B；
（II）根据异面直线所成角的定义，结合棱柱的性质证出∠A₁BC₁（或其补角）是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，得到Rt△A₁BC₁中∠A₁BC₁=60°，由A₁C₁=1算出A₁B=

3

，由此在Rt△A₁B₁B中算出BB₁=

2

．过B₁点作B₁E⊥AB于点E，则B₁E⊥平面A₁BC₁，在Rt△A₁B₁B中算出B₁E=

6

3

，得点B₁到平面A₁BC₁的距离等于

6

3

，从而得出点D到平面A₁BC₁的距离d=

6

6

，最后算出C₁D=

10

2

，利用直线与平面所成角的定义与性质即可算出直线DC₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值．

（I）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴AC⊥AA₁，
又∵∠BAC=90°，即AC⊥AB，且AA₁∩AB=A，∴AC⊥平面AA₁B₁B，
∵A₁B⊂平面AA₁B₁B，∴AC⊥A₁B；
（II）∵四边形BB₁C₁C为平行四边形，得B₁C₁∥BC，
∴∠A₁BC₁（或其补角）是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角．
∵AC⊥A₁B，A₁C₁∥AC，∴A₁C₁⊥A₁B．
由此可得Rt△A₁BC₁中，∠A₁BC₁=60°，
∵A₁C₁=AC=1，∴A₁B=
3
Rt△A₁B₁B中，A₁B₁=AB=1，可得BB₁=
A1B2−A1B12=
2，
∵A₁C₁∥AC，AC⊥平面AA₁B₁B，∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
∵A₁C₁⊂平面A₁BC₁，∴平面A₁BC₁⊥平面AA₁B₁B，
过B₁点作B₁E⊥AB于点E，则B₁E⊥平面A₁BC₁，
Rt△A₁B₁B中，B₁E=
A1B1•BB1
A1B=

6
3，即点B₁到平面A₁BC₁的距离等于

6
3．
∵D是BB₁的中点，∴点D到平面A₁BC₁的距离d=[1/2]×

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．

考点点评： 本题着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明、异面直线所成角的定义及求法、直线与平面所成角的定义及性质和解直角三角形等知识，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．