已知函数f（x）=-x3+ax在（0，1）上是增函数．

解题思路：（1）当x∈（0，1）时，函数f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函数可得f′（1）=-3+a≥0，可求得实数a的取值范围A；
（2）当a=3时，可求得a_n+1=[1/2]f（a_n）=-[1/2]an3+[3/2]a_n，且a₁=b∈（0，1），用数学归纳法证明a_n∈（0，1），对n∈N^*恒成立，再作差比较a_n与a_n+1的大小．

（1）∵f（x）=-x³+ax，
∴f′（x）=-3x²+a，
∵f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函数，
∴f′（1）=-3+a≥0，
∴a≥3，即A=[3，+∞）．
（2）当a=3时，由题意：a_n+1=[1/2]f（a_n）=-[1/2]an3+[3/2]a_n，且a₁=b∈（0，1），
以下用数学归纳法证明：a_n∈（0，1），对n∈N^*恒成立．
①当n=1时，a₁=b∈（0，1）成立；
②假设n=k时，a_k∈（0，1）成立，那么当n=k+1时，
a_k+1=-[1/2]a_k³+[3/2]a_k，由①知g（x）=（-x³+3x）在（0，1）上单调递增，
∴g（0）＜g（a_k）＜g（1）
即0＜a_k+1＜1，
　由①②知对一切n∈N^*都有a_n∈（0，1）
　而a_n+1-a_n=-[1/2]a_n³+[3/2]a_n-a_n=[1/2]a_n（1-a_n²）＞0
∴a_n+1＞a_n．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查数学归纳法的应用，用数学归纳法证明：an∈（0，1），对n∈N*恒成立是关键，也是难点所在，考查数列与函数的综合，属于难题．