在三角形ABC中,若角C=90°,角A=30°,BC=4,求内切圆的直径和外接圆的直径

∠C=90,∠A=30,BC=4
所以AB=8,AC=4√3
外接圆圆心在斜边中点,直径为斜边长,因此是8
做三角形内切圆O,分别连接AO、BO、CO.将三角形ABC分成三部分
由于圆心到三边距离相等,都是内切圆半径.
因此设半径为X,三个小三角形分别以AB、AC、BC为底,以圆半径为高.
因此面积和为AB×X/2+AC×X/2+BC×X/2
=（AB+AC+BC）×X/2
=（12+4√3）X/2
=（6+2√3）X
而整体计算三角形ABC面积为：AC×BC/2=8√3,与三个小三角形面积和相同
所以（6+2√3）X=8√3,X=2√3- 2
直径为4√3-4

内切圆直径=(4√3)-4. 外接圆直径=8。

∵∠C=90°，∠A=30°，BC=4。∴AB＝8，
∴外接圆的直径＝8。
设内切圆的圆心为O,即三角形ABC的内心为O,
连接OB,OC,作OD⊥BC,则∠DCO＝45°,∠DBO＝30°
∴OD＝DC,OD＝√3/3BD
又∵BD＋DC＝4，∴√3OD＋OD＝4
∴OD＝4/（√3＋1）即内切圆的半径为4/（√3＋1）
∴内切圆的直径为8...