已知关于x的一元二次方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0的两根分别是tanα，tanβ．求tan（α+β）的取值范

解题思路：利用韦达定理，有tanα+tanβ＝−

2m−3

m

，tanαtanβ＝

m−2

m

，根据两角和的正切公式，将tan（α+β） 展开，最后化成关于m的函数，求出范围，注意一元二次方程根存在的条件是△≥0．

由题意，可得

m≠0
△＝(2m−3)2−4m(m−2)≥0
解得m≤
9
4且m≠0．　　
由韦达定理有tanα+tanβ＝−
2m−3
m，tanαtanβ＝
m−2
m
∴tan(α+β)＝
tanα+tanβ
1−tanαtanβ＝−m+
3
2，
又m≤
9
4且m≠0，从而求得tan（α+β）的取值范围是[−
3
4，
3
2)∪(
3
2，+∞)．

点评：
本题考点： 两角和与差的正切函数；二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题考查一元二次方程根存在的条件，两角和的正切公式的应用，函数思想及函数值域求解．是道好题．

有根则判别式大于等于0
4m²-12m+9-4m²+8m>=0
m<=9/4
且x²系数不等于0
所以m<=9/4.m≠0
韦达定理
tanα+tanβ=-(2m-3)/m
tanαtanβ=(m-2)/m
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=(-2m+3)/2

tanα+tanβ=(3-2m)/m
tanαtanβ=(m-2)/m
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=(3-2m)/2
判别式=(2m-3)^2-4m(m-2)>0 ->m<9/4
tan(α+β)>-3/4

tan(α+β)=（tanα+tanβ）/（1-tanα*tanβ）
tanα+tanβ=-(2m-3)/m
tanα*tanβ=(m-2)/m
tan(α+β)=（tanα+tanβ）/（1-tanα*tanβ）=1.5-m
又德尔塔≥0得m≥-4.5
故≥-3