垂直平分线的引入与性质
如图①所示，在三角形ABC中，已知边AC的长度为27个单位。题目中提到了“AB的垂直平分线交AB于点”，这通常意味着这条垂直平分线与边AB相交于某个点，我们通常将这个交点记为D。垂直平分线是几何学中的一个重要概念，它指的是经过一条线段的中点并且垂直于这条线段的直线。因此，点D是边AB的中点，即AD = DB。同时，这条直线（记为l）满足l ⟂ AB。这个条件为我们后续利用垂直平分线的性质来分析和解决问题奠定了基础。
几何关系的分析与推导
在明确了垂直平分线的存在后，我们可以进一步探讨其对整个三角形几何结构的影响。垂直平分线有一个关键性质：线上任意一点到线段两端的距离相等。因此，如果我们在垂直平分线l上任取一点P，那么PA = PB。这个性质常常用于将分散的线段关系联系起来。在本题的语境下，虽然AC的长度已知为27，但问题的核心很可能在于求解其他边长（如BC）或某些线段的和差关系。一种常见的题型是：连接垂直平分线与边AC的交点（或与其他边的交点），利用垂直平分线的性质和三角形全等、勾股定理等来建立方程。
例如，假设题目后续是“交AB于D，交AC于E，连接BE”，那么我们可以利用AD=BD，DE公共边且垂直，证明△ADE ≌ △BDE，从而得到AE=BE。此时，三角形BEC的周长EC+BE+BC就转化为EC+AE+BC = AC + BC。由于AC已知为27，如果题目再给出三角形BEC的周长，我们就能立刻求出BC的长度。这正是垂直平分线性质在简化复杂几何问题中的典型应用，它将问题转化为了更直接的代数计算。
