已知函数f（x）=log2（x+1）

解题思路：（Ⅰ）根据函数f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的单调性可求出值域，从而建立方程组，转化成m，n是x+1＝

p

x

的两根，即方程：x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）有两个相异的解，从而求出所求；
（Ⅱ）“h（t）≥2^{f（x）-g（x）}对任意x∈（-1，+∞），t∈R恒成立”转化成“h（t）≥

x+1

x2−3x+5

的最大值”，然后利用基本不等式求出不等式右侧函数的最大值，从而可求出实数a的取值范围．

（Ⅰ）由题意知：f(m)＝log2(m+1)＝log2
p
m，f(n)＝log2(n+1)＝log2
p
n
即：m+1＝
p
m，n+1＝
p
n，n＞m＞−1，
∴m，n是x+1＝
p
x的两根，即方程：x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）有两个相异的解，
由对称轴x＝−
1
2＜−1，只需满足

△＝1+4p＞0
(−1)2+(−1)−p＞0，解得：−
1
4＜p＜0，
∴实数p的取值范围是−
1
4＜p＜0；
（Ⅱ）由题意h（t）≥2log2(x+1)−log2(x2−3x+5)＝
x+1
x2−3x+5对任意x∈（-1，+∞）成立，即h（t）≥[x+1
x2−3x+5的最大值，
又∵
x+1
x2−3x+5＝
x+1
(x+1)2−5(x+1)+9=
1
(x+1)+
9/x+1−5≤1，当且仅当x+1＝
9
x+1]，即x=2时取到，
∴h（t）≥1对t∈R恒成立，只需h（t）_min≥1，
而h（t）=|t-a|+|t|≥|a|，
∴|a|≥1即可，解得a≥1或a≤-1，
∴实数a的取值范围是a≥1或a≤-1．

点评：
本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．

考点点评： 本题主要考查了函数的定义域和值域，以及基本不等式在最值问题中的应用和恒成立问题，解决恒成立求参数范围问题常常利用参数分离法，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．