已知定点F（2，0），直线l：x=-2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且FQ⊥(PF+PQ)

解题思路：（1）确定向量的坐标，利用FQ⊥(PF+PQ)，得FQ•(PF+PQ)=0，由此可求曲线C的方程；（2）设直线l1的方程为x=my+2与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合1|AF|+1|BF|=1x1+2+1x2+2，即可证得结论；（3）确定OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），利用cosθ＝OA•OB|OA||OB|，可求cosθ的取值范围．

（1）设动点P（x，y）．依据题意，可得
Q(−2，y)，

FQ＝(−4，y)，

PF＝(2−x，−y)，

PQ＝(−2−x，0)．　　　　（3分）
又

FQ⊥(

PF+

PQ)，
于是，

FQ•(

PF+

PQ)＝0，即y²=8x（x≥0）．　　　　　　　　　　　　　　　　　（6分）
因此，所求动点P的轨迹方程为C：y²=8x（x≥0）．
（2）证明：∵直线l₁过F点且与曲线C交于不同的A、B两点，
∴l₁的斜率不为零，故设l₁：x=my+2．　　　　　　　　　（7分）
联立方程组

y2＝8x
x＝my+2得y²-8my-16=0．（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y1+y2＝8m
y1y2＝−16，进一步得

x1+x2＝8m2+4
x1x2＝4.（10分）
又∵曲线C：y²=8x（x≥0）的准线为：x=-2，
∴左边=[1
|FA|+
1
|FB|＝
1
x1+2+
1
x2+2=
4+x1+x2
x1x2+2(x1+x2)+4=
1/2]=右边．　　　　　　　　　　　　（12分）
∴[1
|FA|+
1
|FB|＝
1/2]．证毕！
（3）由（2）可知，

OA＝(x1，y1)，

OB＝(x2，y2)．
∴cosθ＝


OA•

OB
|

OA|•|

OB|＝
x1x2+y1y2


x21+
y21•

x22+
y22=
−12


x21+8x1•

x22+8x2=
−6

100+64m2≥−
3
5（当且仅当m=0时，等号成立）．　　　　　（16分）
∴(cosθ)min＝−
3
5．（18分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查计算能力，属于中档题．