求微分方程y″-2y′-3y=3x+1+ex的一个特解．

解题思路：利用线性微分方程解的性质可得，只需分别求出y″-2y′-3y=3x+1的一个特解y₁，以及y″-2y′-3y=e^x的一个特解y₂，则y₁+y₂即为微分方程y″-2y′-3y=3x+1+e^x的一个特解．

微分方程y″-2y′-3y=3x+1+ex的特征方程为：λ2-2λ-3=0，求解可得其特征值为：λ1=-1，λ2=3．对于微分方程y″-2y′-3y=3x+1，①由于0不是方程的特征根，故其特解形式为：y1=Ax+B．代入①可得，-3Ax-（2A+3B）=3x+1...

点评：
本题考点： 线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数非齐次线性微分方程求解．

考点点评： 本题考查了线性微分方程解的性质以及二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式，具有一定的综合性，难度系数适中．二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式是一个重要知识点，需要熟练掌握常见方程的特解形式并灵活运用．