（1）证明：当a＞1时，不等式a3+1a3＞a2+1a2成立．

解题思路：（1）用作差比较法证明不等式，把差化为因式积的形式，判断符号，得出结论．
（2）由于a-1与a⁵-1同号，对任何a＞0且a≠1 恒成立，故上述不等式的条件可放宽为a＞0且a≠1．
（3）左式-右式等于

1

nm

(am−n−1)(am+n−1)，根据m＞n＞0，分a＞1 和0＜a＜1 两种情况讨论．

（1）证明：a3+
1
a3−a2−
1
a2＝
1
a3(a−1)(a5−1)，∵a＞1，∴
1
a3（a-1）（a⁵-1）＞0，
∴原不等式成立．
（2）∵a-1与a⁵-1同号对任何a＞0且a≠1 恒成立，∴上述不等式的条件可放宽为a＞0且a≠1．
（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a≠1，m＞n＞0，则有am+
1
nm＞an+
1
nn．
证：左式-右式=am−an+
1
nm−
1
nn＝an(am−n −1)-
1
am（a^m-n-1）
=（a^m-n-1）（ aⁿ-
1
am）=
1
am（a^m-n-1）（a^m+n-1），
若a＞1，则由m＞n＞0 可得
1
am＞0，a^m-n-1＞0，a^m+n-1＞0，∴不等式成立．
若0＜a＜1，则由m＞n＞0 可得
1
am＞0，0＜a^m-n＜1，0＜a^m+n＜1，∴不等式成立．

点评：
本题考点： 不等式的证明；类比推理．

考点点评： 本题考查不等式性质的应用，用比较法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．