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春芽
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f(x)=x-1-ln²x+2alnx,则:
f'(x)=1-(2lnx)/x+(2a/x)=(x-2lnx+2a)/(x)
另设:g(x)=x-2lnx+2a,则g'(x)=1-(2/x)=(x-2)/x,则:
g(x)在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增,则g(x)的最小值是g(2)=2-2ln2+2a=2ln(e/2)+2a
因为a≥0,e/2>1则ln(e/2)>0,所以g(x)的最小值g(2)>0,从而,对于f'(x)来说,则有:
f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是递增的,
所以函数f(x)在x>1时是递增的,则:
当x>1时,恒有f(x)>f(1)成立,即:
x-1-ln(2x)+2alnx>0
就是:x>ln(2x)-2alnx+1成立.
1年前
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