已知椭圆C 1 的方程为 x 2 4 +y 2 =1，双曲线C 2 的左、右焦点分别为C 1 的左、右顶点，而C 2 的

（Ⅰ）设双曲线C ₂ 的方程为
x 2
a 2 -
y 2
b 2 =1，则a ² =4-1=3，再由a ² +b ² =c ² 得b ² =1．
故C ₂ 的方程为
x 2
3 -y ² =1．
（II）将y=kx+
2 代入
x 2
4 +y ² =1得（1+4k ² ）x ² +8
2 kx+4=0
由直线l与椭圆C ₁ 恒有两个不同的交点得△1= (8
2 ) 2 k 2 -16（1+4k ² ）=16（4k ² -1）＞0，
即k ² ＞
1
4 ①
将y=kx+
2 代入
x 2
3 -y ² =1得（1-3k ² ）x ² -6
2 kx-9=0．
由直线l与双曲线C ₂ 恒有两个不同的交点A，B得

1-3 k 2 ≠0
△ 2 = (-6
2 k) 2 +36(1-3 k 2 )=36(1- k 2 )＞0.
即k ² ≠
1
3 且k ² ＜1．②
设A（x _A ，y _A ）B（x _B ，y _B ），则x _A +x _B =
6
2 k
1-3 k 2 ，x _A •x _B =
-9
1-3 k 2 ．
由

OA •

OB ＜6得x _A x _B +y _A y _B ＜6，
而x _A x _B +y _A y _B =x _A x _B +（kx _A +
2 ）（kx _B +
2 ）
=（k ² +1）x _A x _B +
2 （x _A +x _B ）+2
=（k ² +1）•
-9
1-3 k 2 +
2 k•
6
2 k
1-3 k 2 +2
=
3 k 2 +7
3 k 2 -1 ．
于是
3 k 2 +7
3 k 2 -1 ＜6，即
15 k 2 -13
3 k 2 -1 ＞0．
解此不等式得k ² ＞
13
15 或k ² ＜
1
3 ．③
由①、②、③得
1
4 ＜k ² ＜或
13
15 ＜k ² ＜1．
故k的取值范围为（-1，-

13
15 ）∪（-

3
3 ，-
1
2 ）∪（
1
2 ，

3
3 ）∪（

13
15 ，1）．