我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a n }依次填入第一列的空格

（1）由题意得，B ₁ =q，B ₂ =1+q，
B ₃ =1+（1+q）=2+q，…，B _n =（n-1）+q，
∴B ₁ +B ₂ +…+B _n =1+2+…+（n-1）+nq=
n(n-1)
2 +nq ．
（2）由题意得，c ₁ =1，c ₂ =1+（1+q）=2+q，
c 3 =(2+q)+(1+q+ q 2 )=3+2q+ q 2 ，
由 c 1 + c 3 -2 c 2 =1+3+2q+ q 2 -2(2+q)= q 2 ＞0 ，
即 c ₁ +c ₃ ＞2c ₂ ．
（3）①先设c ₁ ，c ₂ ，c ₃ 成等比数列，由 c 1 c 3 =
c 22 得，
3+2q+q ² =（2+q） ² ， q=-
1
2 ．
此时 c ₁ =1， c 2 =
3
2 ， c 3 =
9
4 ，
∴c ₁ ，c ₂ ，c ₃ 是一个公比为
3
2 的等比数列．
如果m≥4，c ₁ ，c ₂ ，…，c _m 为等比数列，那么c ₁ ，c ₂ ，c ₃ 一定是等比数列．
由上所述，此时 q=-
1
2 ， c 1 =1， c 2 =
3
2 ， c 3 =
9
4 ， c 4 =
23
8 ，
由于
c 4
c 3 ≠
3
2 ，因此，对于任意m≥4，c ₁ ，c ₂ ，…，c _m 一定不是等比数列．
综上所述，当且仅当m=3且 q=-
1
2 时，数列c ₁ ，c ₂ ，…，c _m 是等比数列．
②设x ₁ ，x ₂ ，x ₃ 和y ₁ ，y ₂ ，y ₃ 分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则 x 1 =1， x 2 =k+q， x 3 =(1+2+3+…+k)+kq+ q 2 =
k(k+1)
2 +kq+ q 2 ，
若第k+1列的前三项x ₁ ，x ₂ ，x ₃ 是等比数列，则
由 x 1 x 3 =
x 22 ，得
k(k+1)
2 +kq+ q 2 =(k+q ) 2 ，
k 2 -k
2 +kq=0 ， q=
1-k
2 ，
同理，若第m+1列的前三项y ₁ ，y ₂ ，y ₃ 是等比数列，则 q=
1-m
2 ．
当k≠m时，
1-k
2 ≠
1-m
2 ．
所以，无论怎样的q，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列．