已知椭圆C: 的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为 的菱形的四个顶点.

已知椭圆C: 的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为 的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆C的方程；
(II)若直线y =kx交椭圆C于A，B两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求k的值.
(I) ； (II) 或 ．


试题分析：(I)由图形的对称性及椭圆的几何性质，易得 ，进而写出方程； (II) 先找到AB中垂线与l的交点，保证ΔPAB为等腰三角形，再满足 即可保证ΔPAB为等边三角形，此外，注意对于特殊情形的讨论．
试题解析：
(I)因为椭圆 的四个顶点恰好是一边长为2，
一内角为 的菱形的四个顶点,
所以 ,椭圆 的方程为 ． 4分
(II)设 则
当直线 的斜率为 时， 的垂直平分线就是 轴，
轴与直线 的交点为 ,
又因为 ，所以 ，
所以 是等边三角形,所以 满足条件； 6分
当直线 的斜率存在且不为 时，设 的方程为
所以 ，化简得
所以 ，则 8分
设 的垂直平分线为 ，它与直线 的交点记为
所以 ，解得 ,
则 10分
因为 为等边三角形， 所以应有
代入得到 ，解得 （舍）， 13分
综上可知， 或