（2011•贺州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，锐角∠DAB的平分线AC

解题思路：（1）连接OC，由CD为圆O的切线，根据切线性质得到OC与CD垂直，又AD与CD垂直，根据平面上垂直于同一条直线的两直线平行得到AD与OC平行，由平行得一对内错角相等，又因为两半径OA与OC相等，根据等边对等角，得到一对相等的角，利用等量代换，即可得到∠DAC=∠OAC，即AC为∠DAB的平分线；
（2）以O为圆心，以大于O到AC的距离为半径画弧，与AC交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间距离的一半长为半径在AC的另一侧画弧，两弧交于一点，经过此点与点O确定一条直线，即为所求的直线，如图所示；
（3）在直角三角形ACD中，由CD和AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再根据垂径定理，由OE与AC 垂直，得到E为AC中点，求出AE的长，由（1）推出的角平分线得一对角相等，再由一对直角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，由相似得比例即可求出OE的长．

（1）证明：连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB；（3分）

（2）点O作线段AC的垂线OE如图所示：
∴直线OE所求的直线；

（3）在Rt△ACD中，CD=4，AC=4
5，
∴AD=
AC2−CD2=
(4
5)2−42=8，（6分）
∵OE⊥AC
∴AE=[1/2]AC=2
5，（7分）
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，
∴△AEO∽△ADC，
∴[OE/CD]=[AE/AD]，（8分）
∴OE=[AE/AD]×CD=
2
5
8×4=

点评：
本题考点： 切线的性质；勾股定理；作图—复杂作图；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理．遇到圆的切线时，往往连接切点与圆心，运用切线性质将相切转化为垂直，来解决数学问题，同时要求学生作下一问时，要善于利用前面得出的结论．此题的第二问是尺规作图题，锻炼了学生的动手操作能力．