如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB＝BC＝½PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC

（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC的中点,
∴OD∥PA
又PA平面PAB,
∴OD∥平面PAB
（Ⅱ）∵AB⊥BC,OA=OC
∴OA=OB=OC
又∴OP⊥平面ABC,
∴PA=PB=PC.
取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE.
作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC.∠ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD∥PA,
∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
在Rt△ODF中,
sin∠ODF=.
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知,OF⊥平面PBC,
∴F是O在平面PBC内的射影.
∵D是PC的中点
若点F是△PBC的重心.
则B、F、D三点共线,
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.
∵OB⊥PC,
∴PC⊥BD,
∴PB=BC,即k=1
反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心
方法二：
∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,
∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,
设AB=a,则A（a,0,0）,B（0,a,0）,C（－a,0,0）.
设OP=h,则P（0,0,h）.
（Ⅰ）∵D为PC的中点,
∴＝（－,0,）
又,
∴
∴∥.
∴OD∥平面PAB
（Ⅱ）∵k=,即PA=2a
∴h=,
∴=(),
可求得平面PBC的法向量=（1,－1,－）,
∴cos==
设PA与平面PBC所成的角为θ
则sinθ=|cos|=,
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin
（Ⅲ）△PBC的重心G（－a,a,h）,
∴=（－a,a,h）
∵OG⊥平面PBC,
∴⊥
又=（0,a,－h）
∴·=a2－h2=0
∴h=a.
∴PA==a,即k=1.
反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.