（2001•荆州）设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）的图象经过（0，y1）、（1，y2）和（-1，y3）三

解题思路：（1）将三点坐标代入抛物线的解析式中，根据y₁²=y₂²=y₃²=1．即可得出a、b、c的值．也就可求出抛物线的解析式．
（2）很显然当△APB面积最大时其实就是P运动到C点时，可根据抛物线的解析式求出抛物线顶点坐标和A、B的坐标，进而可根据AB的长和顶点C的纵坐标的绝对值求出S的值．
（3）根据圆周角定理可知：当△APB的外接圆的圆心在x轴上时，∠APB=90°，因此只需看∠ACB是否大于90°即可，如果∠ACB＞90°，则说明不存在这样的P点，如果∠ACB=90°，那么此时P点与C重合，如果∠ACB＜90°，则一定存在这样的P点，使得△APB的外接圆的圆心在x轴上．

（1）由已知得：（a+b+c）²=（a-b+c）²=c²=1，
图象经过y轴负半轴，则c=-1，
∴

a+b−1＝a−b−1
a+b−1＝−a+b+1，
解得；a=1，b=1，c=-1．
因此抛物线的解析式为y=x²+x-1．

（2）抛物线的顶点为（-[1/2]，-[5/4]）．
当动点P从A点出发沿折线ACB运动至顶点C时，△ABP的面积的最大，
易知：A、B的坐标为：（-
1+
5
2，0 ），（

5−1
2，0）．
因此AB=
5．
因此S=[1/2]×
5×[5/4]=
5

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、圆周角定理、解直角三角形等知识点．