(2014•荆州)已知:函数y=ax2-(3a+1)x+2a+1(a为常数).

(2014•荆州)已知:函数y=ax2-(3a+1)x+2a+1(a为常数).
(1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点,求a的值;
(2)若该函数图象是开口向上的抛物线,与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴相交于点C,且x2-x1=2.
①求抛物线的解析式;
②作点A关于y轴的对称点D,连结BC,DC,求sin∠DCB的值.
337788 1年前 已收到1个回答 举报

lily6186 幼苗

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解题思路:(1)根据a取值的不同,有三种情形,需要分类讨论,避免漏解.
(2)①函数与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)两点,则x1,x2,满足y=0时,方程的根与系数关系.因为x2-x1=2,则可平方,用x1+x2,x1x2表示,则得关于a的方程,可求,并得抛物线解析式.
②已知解析式则可得A,B,C,D坐标,求sin∠DCB,须作垂线构造直角三角形,结论易得.

(1)函数y=ax2-(3a+1)x+2a+1(a为常数),
若a=0,则y=-x+1,与坐标轴有两个交点(0,1),(1,0);
若a≠0且图象过原点时,2a+1=0,a=-[1/2],有两个交点(0,0),(1,0);
若a≠0且图象与x轴只有一个交点时,令y=0有:
△=(3a+1)2-4a(2a+1)=0,解得a=-1,有两个交点(0,-1),(1,0).
综上得:a=0或-[1/2]或-1时,函数图象与坐标轴有两个交点.

(2)①∵函数与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)两点,
∴x1,x2为ax2-(3a+1)x+2a+1=0的两个根,
∴x1+x2=[3a+1/a],x1x2=[2a+1/a],
∵x2-x1=2,
∴4=(x2-x12=(x1+x22-4x1x2=([3a+1/a])2-4•[2a+1/a],
解得a=-[1/3](函数开口向上,a>0,舍去),或a=1,
∴y=x2-4x+3.
②∵函数y=x2-4x+3与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴相交于点C,且x1<x2
∴A(1,0),B(3,0),C(0,3),
∵D为A关于y轴的对称点,
∴D(-1,0).
根据题意画图,

如图1,过点D作DE⊥CB于E,
∵OC=3,OB=3,OC⊥OB,
∴△OCB为等腰直角三角形,
∴∠CBO=45°,
∴△EDB为等腰直角三角形,
设DE=x,则EB=x,
∵DB=4,
∴x2+x2=42
∴x=2
2,即DE=2
2.
在Rt△COD中,
∵DO=1,CO=3,
∴CD=
DO2+CO2=
10,
∴sin∠DCB=[DE/CD]=
2

点评:
本题考点: 二次函数综合题;等腰直角三角形.

考点点评: 本题考查了二次函数图象交点性质、韦达定理、特殊三角形及三角函数等知识,题目考法新颖,但内容常规基础,是一道非常值得考生练习的题目.

1年前

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