函数f（x）的定义域为R，数列{an}满足an=f（an-1）（n∈N*且n≥2）．

（本小题共13分）
（Ⅰ）当n≥2时，
因为a_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），
所以a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．
因为数列{a_n}是等差数列，所以a_n+1-a_n=a_n-a_n-1．
因为 a_n+1-a_n=k（a_n-a_n-1），所以k=1．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）=kx，（k＞1），a₁=2，且a_n+1=f（a_n），
所以a_n+1=ka_n．
所以数列{a_n}是首项为2，公比为k的等比数列，
所以an＝2•kn−1．
所以b_n=lna_n=ln2+（n-1）lnk．
因为b_n-b_n-1=lnk，
所以{b_n}是首项为ln2，公差为lnk的等差数列．
所以 S_n=
(b1+bn)n
2=n[ln2+[n−1/2•lnk]．
因为
S(m+1)n
Smn＝
(m+1)n[ln2+
(m+1)n−1
2lnk]
mnln2+
mn−1
2lnk]]
=
(m+1)[(m+1)nlnk+2ln2−lnk]
m[mnlnk+2ln2−lnk]，
又因为
S(m+1)n
Smn的值是一个与n无关的量，
所以[2ln2−lnk/mnlnk]=
2ln2−lnk
(m+1)nlnk，
解得k=4．…（13分）

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列的求和；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．