设函数f(x)＝x+a2x(a＞0)，

解题思路：（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）可判断函数f（x）是奇函数；
（2）可设0＜x₁＜x₂≤a，然后作差后化为乘积，f(x1)−f(x2)＝x1+

a2

x1

−x2−

a2

x2

＝(x1−x2)(1−

a2

x1x2

)，结合题意讨论每个因式的符号，利用单调性的定义即可证明函数f（x）在区间（0，a]上单调递减；
（3）利用函数f（x）是奇函数，在区间（0，a]上单调递减；在[a，+∞）上单调递增；从而可判断在对称区间上具有相同的单调性．

（1）证明：因为f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f(−x)＝−x−
a2
x＝−f(x)，
故f（x）是奇函数；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂≤a，则f(x1)−f(x2)＝x1+
a2
x1−x2−
a2
x2＝(x1−x2)(1−
a2
x1x2)．
因为0＜x₁＜x₂≤a，所以0＜x₁x₂＜a²，从而1−
a2
x1x2＜0且x₁-x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
因此函数f（x）在区间（0，a]上单调递减；同理可以证明函数f（x）在区间[a，+∞）上单调递增；
（3）∵f（x）是奇函数；在区间（0，a]上单调递减，在区间[a，+∞）上单调递增；
∴函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，
综上所述：函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数奇偶性的判断，着重考查学生对定义法判断函数奇偶性与单调性的掌握，及对函数性质的理解与应用，属于中档题．