（2006•海淀区一模）已知：函数f（x）=2cos2x+asinxcosx，f(π6)=0．

解题思路：（Ι）直接利用条件 f(

π

6

)=2×[3/4]+a×[1/2]×

3

2

=0，解方程求出a的值．
（ΙΙ）根据三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2cos（2x+[π/3]）+1，令 2kπ-π≤2x+[π/3]≤2kπ，k∈z，求出x的范围，即可得到函数的增区间．
（ΙII）在函数g（x）的图象上任取一点P（x，y），设该点是由函数f（x）图象上的点P′（x′，y′）按向量

m

=（[π/6]，-1）平移后所得，得到这两个点的坐标间的关系，代入y′=2cos（2x′+[π/3]）+1中可得 g（x） 解析式．

（Ι）由题意，f(
π
6)=2×[3/4]+a×[1/2]×

3
2=0，∴a=-2
3．
（ΙΙ）函数f（x）=2cos²x+asinxcosx=（cos2x+1）-
3sin2x=2cos（2x+[π/3]）+1，
故最小正周期T=[2π/2]．
令 2kπ-π≤2x+[π/3]≤2kπ，k∈z，解得 kπ-[2π/3]≤x≤kπ-[π/6]，k∈z．
故函数的增区间为[kπ-[2π/3]，kπ-[π/6]]，k∈z．
（ΙII）在函数g（x）的图象上任取一点P（x，y），设该点是由函数f（x）图象上的点
P′（x′，y′）按向量

m=（[π/6]，-1）平移后所得，则

点评：
本题考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，以及函数y=Asin（ωx+∅）的性质应用，属于中档题．