高一立几一题4.（本小题满分12分）.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点

1.连接B1D,CD,因为AD⊥面BCC1,B1C在面上,所以AD⊥B1C,又因为E为B1C中点,所以在DB1C中,DE既为B1C边上的高,又是中线,所以此三角形为等腰三角形,其中BD=CD,又由于D为AA1中点△,所以AD=DA1,因此在Rt△ACD与Rt△A1B1D中,斜边B1D=CD,一条直角边A1D=AD,所以两三角形全等,可得A1B1=AC,由直三棱柱性质知,AB=A1B1,所以有AB=AC
2.说实在的,这一问我做着计算量超大,实在没想出别的简单些的方法,在此把思路说出来,楼主务必自己认真作图,否则很理解清楚!
首先,要找到二面角A-BD-C.取BC中点M,连接MD,过A做AF⊥BD于F,再过F做FC'⊥BD,交BC或BC延长线于C',显然,BD为面ABD与面BDC的交线,AF在ABD面上,C'F在BCD面上,故∠C'FA即为二面角A-BD-C,有∠AFC'=60度,留作后用
由于是直棱柱,可以得到棱AA1⊥面ABC,有AA1⊥AB,于是在Rt三角形ABD中,F为斜边BD的高,根据直角三角形内部的比例关系,可得出AB^=BF*BD ①
而C'F⊥BD,可以得到∠A1FC'=90度
可很容易得到BD=DC,M为底边BC中点,故有MD⊥BC,∠DMC=90度,由此,可以判断出M,D,F,C'四点共圆,故根据圆的割线定理得：BM*BC'=BF*BD（也可由证明△BFC'相似于△BMD而得出此式）,比较①式,可得出BC'*(BC/2)=AB^,设AB=a,则根据已经得证的ABC是等腰直角三角形的结论,可得到BC=√2a,于是可求出BC'=√2a=BC,由此可知,C,C'是重合的,有CF⊥BD成立,∠AFC=60度（以下C'点将不再出现）
这样,二面角的位置彻底找到,现在,底面的三边比例关系互相确定,只有三棱柱的棱高时未知比例数,故需要找到它与直角三角形底面三边的固定比例关系,就可将三棱柱的轮廓完全掌握,以便于后面的求解:
前面已设AB=a,再设棱AA1=h,以后的各边均用a,h两个量来代替
由于∠AFC已知,需要用a,h表示出三角形AFC中三边的长,进而运用余弦定理得到a,h的具体关系：
AC=a,很直观；
求AF：
在Rt三角形ABD中,AB=a,AD=h/2,则BD=√（a^+ h^/4）,根据各边比例关系可求得AF=ah/√(4a^+h^)
接下来是CF：
在等边三角形BDC中,BD=CD=√（a^+ h^/4）,BC=√2a,而CF是BD边上的高,可通过过D向BC以高线列出比例关系,进而求得
CF=√2 * a*√(2a^+h^) /√(4a^+h^)
由此,三角形ACF三边均已用a,h表示出,对其进行余弦定理的运用：
AC^=AF^+CF^-2AF*CF*cos∠AFC
代入各数值,最后可求出
a=√2h
最后,找出需要求的B1C与面BCD所成的角：
连接ME,过E做EN⊥DM于N,由于M,E分别为BC,B1C1中点,所以有ME‖BB1,因为BB1为棱柱的棱,必垂直于底面,于是有ME⊥面ABC,ME⊥BC,而DE⊥面BCC1,有DE⊥BC,DE⊥ME（此项备用）,所以BC⊥面MDE,有BC⊥EN,结合前方所作的EN⊥DM,所以又EN⊥面BDC,所以∠ECN即为B1C与面BCD所成的角,只要求出EN,CE,就可利用此角的正弦值得出此角的大小
CE=B1C/2=√(a^+h^)=√3a/2
最后求EN：
由DE⊥ME,可知三角形EDM是直角三角形,直角边EM=BB1/2=h/2=√2a/2
由前面BD的表达式,再结合Rt三角形AMD,可求出斜边MD=a,于是另一条直角边ED=√2a/2,于是得出EN=a/2
于是sin∠ECN=EN/EC=√3/3
∠ECN=arcsin√3/3
这题做的太费劲,尤其是考试时我认为有可能会作为压轴题存在,楼主只需大概了解过程即可,其中很多的计算步骤我在这里省略了,但根据一些基本的几何关系都是可求的,虽然有的地方中间的过程看上去很繁琐.楼主要是能找到其他能够简单些的办法麻烦告诉我一声,也耽误你很长时间,谢谢你能耐心看完,

晕，楼上的真有耐心。。。不过貌似正确了，楼主这种题不用太费心的，肯定是作为压轴题出现，会不会无所谓，尤其是最后一问