已知y=f(x)是定义在实数集上的函数,并且满足：①对任意的x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y

证明（1）令x=y=0,f(0+0)=f(0)f(0)即f(0){f(0)-1}=0
即f(0)=0或者f(0)=1
又因为当x＞0时,f(x)＞1假如f(0+1)=f(0)f(1）
只有f(0)=1符合条件
即f(0)=1
（2）因为当x＞0时,f(x)>1,-x0
所以对任意的实数x,都有f(x)＞0
（3）令X1>X2 X1-X2>0
f(X1)-f(X2)= f(X1-X2+X2)-f(X2)= f(X1-X2)f(X2)-f(X2)={f(X1-X2)-1}f(X2)
又条件得 f(X1)-f(X2)>0 即 f(X1)>f(X2)
X1>X2 ,f(X1)>f(X2)
y=f(x)在R上的单调递增

fvaev

1）令X=0，所以有
f(0+y)=f(0)*f(y)
所以f(0)=1
3）令x,y都大于零，f(x+y)=f(x)*f(y)
因为x,y都大于零，所以f(x),f(y)都属于（0,1）
可知0xf(x+y),
同理可证当x小于零时的情况
结合条件，x>0,0

1年前

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