对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f（x）=[1/3]x3-[1/2]x2+3x-[5/12]，请你根据上面探究结果，解答以下问题：
（1）函数f（x）=[1/3]x3-[1/2]x2+3x-[5/12]的对称中心坐标为
（2）计算f（[1/2015]）+f（[2/2015]）+f（[3/2015]）+…+f（[2014/2015]）=______．
（1）函数f（x）=[1/3]x3-[1/2]x2+3x-[5/12]的对称中心坐标为
（[1/2]，1）
（[1/2]，1）
；（2）计算f（[1/2015]）+f（[2/2015]）+f（[3/2015]）+…+f（[2014/2015]）=______．
赞 烟台山mm 幼苗
共回答了15个问题采纳率：93.3% 举报
解题思路：（1）二阶求导并令导数为0，从而可得x=[1/2]，则f（[1/2]）=[1/3]×[1/8]-[1/8]+[3/2]-[5/12]=1，从而得到对称中心坐标；
（2）由函数f（x）=[1/3]x3-[1/2]x2+3x-[5/12]的对称中心坐标为（[1/2]，1）可得f（x）+f（1-x）=2，从而化f（[1/2015]）+f（[2/2015]）+f（[3/2015]）+…+f（[2014/2015]）=（f（[1/2015]）+f（[2014/2015]））+（f（[2/2015]）+f（[2013/2015]））+…+（f（[1007/2015]）+f（[1008/2015]））；从而求解．
（2）由函数f（x）=[1/3]x3-[1/2]x2+3x-[5/12]的对称中心坐标为（[1/2]，1）可得f（x）+f（1-x）=2，从而化f（[1/2015]）+f（[2/2015]）+f（[3/2015]）+…+f（[2014/2015]）=（f（[1/2015]）+f（[2014/2015]））+（f（[2/2015]）+f（[2013/2015]））+…+（f（[1007/2015]）+f（[1008/2015]））；从而求解．
（1）∵f（x）=[1/3]x3-[1/2]x2+3x-[5/12]，
∴f′（x）=x2-x+3，
f″（x）=2x-1，
令2x-1=0，解得，x=[1/2]，
f（[1/2]）=[1/3]×[1/8]-[1/8]+[3/2]-[5/12]=1，
故函数f（x）=[1/3]x3-[1/2]x2+3x-[5/12]的对称中心坐标为（[1/2]，1）；
（2）∵函数f（x）=[1/3]x3-[1/2]x2+3x-[5/12]的对称中心坐标为（[1/2]，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴f（[1/2015]）+f（[2/2015]）+f（[3/2015]）+…+f（[2014/2015]）
=（f（[1/2015]）+f（[2014/2015]））+（f（[2/2015]）+f（[2013/2015]））+…+（f（[1007/2015]）+f（[1008/2015]））
=2×1007=2014．
故答案为：（[1/2]，1），2014．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的值．
考点点评： 本题考查了导数的综合应用，同时考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于难题．
1年前
10
可能相似的问题
-
1年前1个回答