已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+[1/2]x2-bx．

（1）∵f（x）=x+alnx，
∴f′（x）=1+[a/x]，
∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，
∴k=f′（x）|_x=1=1+a=2，
解得a=1．
（2）∵g（x）=lnx+[1/2x2-（b-1）x，
∴g′（x）=
x2−(b−1)x+1
x]，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
即x+[1/x]+1-b＜0有解，
∵定义域x＞0，
∴x+[1/x]≥2，
x+[1/x]＜b-1有解，
只需要x+[1/x]的最小值小于b-1，
∴2＜b-1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．
（3）∵g（x）=lnx+[1/2x2-（b-1）x，
∴g′（x）=
x2−(b−1)x+1
x]=0，∴x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1
∴g（x₁）-g（x₂）=ln
x1
x2-[1/2]（
x1
x2-
x2
x1）
∵0＜x₁＜x₂，
∴设t=
x1
x2，0＜t＜1，
令h（t）=lnt-[1/2]（t-[1/t]），0＜t＜1，
则h′（t）=-
(t−1)2
2t2＜0，
∴h（t）在（0，1）上单调递减，
又∵b≥[7/2]，∴（b-1）²≥[25/4]，
∵0＜t＜1，∴4t²-17t+4≥0，
∴0＜t[1/4]，h（t）≥h（[1/4]）=[15/8]-2ln2，
故所求的最小值为[15/8]-2ln2．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．