（2012•天门模拟）已知椭圆M（焦点在x轴上）的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+42
（2012•天门模拟）已知椭圆M（焦点在x轴上）的离心率为
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
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（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
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解题思路：（Ⅰ）根据椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4
，及椭圆的离心率为
，可求a，c的值，从而可得椭圆M的方程；
（Ⅱ）方法一：不妨设BC、AC的方程，与椭圆方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x2＝
，x1＝
从而可三角形的面积，换元，利用基本不等式，可求ABC面积的最大值；
方法二：不妨设AB的方程为x=ky+m，与椭圆方程联立，根据以AB为直径的圆过点C，可得
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＝0，从而可求m的值，进而可表示三角形的面积，换元，即可求得ABC面积的最大值．
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（Ⅱ）方法一：不妨设BC、AC的方程，与椭圆方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x2＝
| 27n2−3 |
| 9n2+1 |
| 27−3n2 |
| 9+n2 |
方法二：不妨设AB的方程为x=ky+m，与椭圆方程联立，根据以AB为直径的圆过点C，可得
| CA |
| CB |
（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+42，所以2a+2c=6+42，…（1分）又椭圆的离心率为223，即ca＝223，所以c＝223a，…（2分）所以a＝3，c＝22，所以b=1，所以椭圆M的方程为x29+y2＝1．…（4分...
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆方程的联立，正确表示三角形的面积是关键．
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