（2004•宝山区一模）已知f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．

解题思路：（1）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）由（1）中结论，可以得到函数的解析式，构造函数y=log₄（4^x+1）-x，分析出函数的单调性及值域，根据函数零点的判定方法，我们易确定b取不同值时，函数零点个数，进而得到答案．
（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则方程f（x）=g（x）有且只有一个实根，化简可得 2x+

1

2x

＝a•2x−

4

3

a有且只有一个实根，令t=2^x＞0，则转化才方程 (a−1)t2−

4

3

at−1＝0有且只有一个正根，讨论a=1，以及△=0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数a的取值范围．

（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
即log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=−
1
2
证明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）−
1
2x
令y=log₄（4^x+1）-x
由于y=log₄（4^x+1）-x为减函数，且恒为正
故当b＞0时，y=log₄（4^x+1）-x-b有唯一的零点，此时函数y=f（x）的图象与直线y＝
1
2x+b有一个交点，
当b≤0时，y=log₄（4^x+1）-x-b没有零点，此时函数y=f（x）的图象与直线y＝
1
2x+b没有交点
故对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y＝
1
2x+b最多只有一个交点；
（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点
即方程 log4(4x+1)−
1
2x＝log4(a•2x−
4
3a)有且只有一个实根
化简得：方程 2x+
1
2x＝a•2x−
4
3a有且只有一个实根
令t=2^x＞0，则方程 (a−1)t2−
4
3at−1＝0有且只有一个正根
①a＝1⇒t＝−
3
4，不合题意；
②△＝0⇒a＝
3
4或-3
若 a＝
3
4⇒t＝−
1
2，不合题意；若 a＝−3⇒t＝
1
2
③若一个正根和一个负根，则
−1
a−1＜0，即a＞1时，满足题意．
所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=-3}

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用；偶函数．

考点点评： 本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，由于综合考查了多个函数的难点，属于难题．