已知A、B为椭圆C:x2/m+1 +y2/m=1的长轴的两个端点,P是椭圆C上的动点,且角APB的最大值是120度,则实

做出椭圆图形，比较四分之一椭圆上两个角的大小即可得到结论

结论：椭圆长轴顶点与椭圆某点所称的最大角是与短轴顶点所成的点

证明过程如下：

长轴顶点分别为A,B，椭圆上任一点为P
要让∠APB最大也就是要让∠PAB+∠PBA最小
设这两个角为α,β，因为∠APB必定是钝角，所以α+β<90°
因此要让α+β最小，只需要让tan(α+β)最小（因为y=tanx在0°到90°之间单调递增）
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1,a>b>0,

设P点坐标为(x,y), x≠a,
则tanα=|y|/(a+x), tanβ=|y|/(a-x)
所以tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=[|y|/(a+x)+|y|/(a-x)]/[1-y²/(a²-x²)]=2a|y|/(a²-x²-y²)
将x²=a²(1-y²/b²)代入上式得到tan(α+β)=2a|y|/(a²y²/b²-y²)=2a/[(a²/b²-1)|y|]
因为a>b>0, 所以a²/b²-1>0，所以上式在|y|最大的时候取最小值，
|y|最大的时候也就是P为短轴顶点的时候，
所以当P是短轴顶点的时候tan(α+β)最小，

所以此时α+β最小，所以∠APB此时最大。