x∫cos2t/t2dt,X→+∞,积分上限为1,下限为1/x ,为什么积分部分趋向+∞,老李在解析中未解释

设F(t) = ∫cos2t/t2dt,即函数F(t)为该不定积分的一个原函数,则原定积分值可写为：
∫cos2t/t2dt （积分上限为1,下限为1/x ,x→+∞）= F(1) - F(1/x) (x→+∞)
显然F( 1 )为常数,
要证明该定积分值为趋向于正无穷,则只需证明 lim F（1/x）(x→+∞) 的极限为- ∞,
而由洛必达法则有：lim F（1/x）/ x (x→+∞) = lim F(t) / （1/ t）（t→0+)
= lim F'(t) /（1/ t)' （t→0+)
= lim (1/ t^2) * cos2t * (-1/ t^2)^(-1) （t→0+)
= lim -cos2t （t→0+)
= -1
也就是说当 x→+∞时,F（1/ x）与 x 是同级的无穷大,而且趋近于 - ∞,
故原定积分等于 F( 1 ) - F（1/ x）（x→+∞）为趋近于正无穷
回答补充：这里使用洛必达法则确实有一定的勉强,因为使用洛必达法则的条件不一定满足,不过也可以类似的利用洛必达法则证明方法来证明该题：
假设 lim F(t) (t->0+) = a （a为某个常数）,
虽然函数F（t）在t=0处不一定有定义,但我们可以定义F（0）= a 从而使得函数F（t）可以在一段闭区间（[0,t] ,t>0）中满足拉格朗日中值定理的条件,
故有：lim F（t）- F（0）(t->0+) = lim（t - 0）F'(c) （t->0+,0