如图，在等腰直角△ABC中，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过F作FG⊥CD交BE延长线于G，求证：BG=AF+FG

解题思路：过C作AB的平行线交AF的延长线于P，证明△ABE≌△CAP，△MCF≌△PCF，得BE=AP．MF=PF，EG=MG，即可推出答案．

证明：过CP∥AB，AF的延长线于P，
易证△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAP+∠ABE=90°，∠ACD+∠FMC=90°
∴∠BAP=∠FMC，
又∵AB∥PC，
∴∠BAP=∠P
∴∠FMC=∠P．
∵AF⊥BE，∠BAC=90°，
∵∠BAE=∠ACP=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠PAC+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠PAC，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△CAP，
∴BE=AP．
∵CP∥AB，∠ACP=90°，∠ACB=45°，
∴∠MCF=∠PCF=45°，
∵

∠FMC＝∠P
∠MCF＝∠PCF
CF＝CF，
∴△MCF≌△PCF，
∴MF=PF，∠P=∠FMC，
又∵∠FMC=∠GME，
∴∠GEM=∠GME，
∴GE=GM，
则BG=BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG=AF+FG．

点评：
本题考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 此题考查学生对等腰直角三角形和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是过C作AB的平行线交AF的延长线于P，证明△ABE≌△ACP，△MCF≌△PCF．

在《金牌奥数》上应该有题解。

不方便画图，就说了。 设BE、CD交点为H，连接AH并延长，交BC于J，交GF延长线于I点，连接BI，设IG交CD于K； 因为AD=AC。三角形ABC为等腰直角三角形，所以AH垂直平分BC； 角EBC=角DCB，所以90-EBC=90-DCB，即角AFB=角GFC=角BFI； 所以BC也同样垂直平分AI，AF=FI； 所以题目可简化为求证：BG=IG； 下面开始证明： 角AE...

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