（2013•丹江口市模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是点B的直线，连接CO并延长，交⊙O于点D、E，连接AD并延长，交

（2013•丹江口市模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是点B的直线，连接CO并延长，交⊙O于点D、E，连接AD并延长，交BC于点F且∠CBD=∠ADE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：[BD/AD＝

BC]；
（3）若AB=1，tan∠CDF=

，求CD的值．

南宫傲雪 1年前已收到1个回答举报

紫色oo2 幼苗

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解题思路：（1）欲证BC是⊙O的切线，只需证明BC⊥AB即可；
（2）根据相似三角形（△BDC∽△EBC）的对应边成比例知[BD/EB]=[DC/BC]，进而得出AD=BE，即可得出[BD/AD

＝

BC]；
（3）根据已知得出DE是⊙O的直径，进而得出BO，DO的长，再利用（2）中相似的性质以及勾股定理求出即可．

（1）证明：∵∠CBD=∠ADE，∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠DAB+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线；

（2）证明：
∵∠BED=∠BAD（同弧所对的圆周角相等），即∠BEC=∠BAD，
∴∠DBC=∠BEC；
又∵∠BCD=∠ECB（公共角），
∴△BDC∽△EBC，
∴[BD/EB]=[DC/BC]，
∵∠BOE=∠AOD，
∴BE=AD，
∴[BD/AD＝
CD
BC]；

（3）∵AB=1，∴ED=1，BO=DO=[1/2]，
∵BO=AO=DO，
∴∠ODA=∠A=∠E，
∵∠CDF=∠ADE，
∴∠ODA=∠A=∠E=∠CDF，
∵tan∠CDF=

6
3，
∴tan∠DEB=[BD/BE]=

6
3，
∵[BD/EB]=[DC/BC]，
∴[DC/BC]=

6
3，
∴设CD=
6x，BC=3x，
∵BO²+BC²=CO²，
∴（[1/2]）²+（3x）²=（[1/2]+

点评：
本题考点：圆的综合题．

考点点评：本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等知识点，关键在于已知条件推出△BDC∽△EBC．

1年前

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