（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10
（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．（1）按下列要求建立函数关系式：
（Ⅰ）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（Ⅱ）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．
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解题思路：（1）（i）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式．
（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．
（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．
（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
则OA＝
AQ
cosθ＝
10
cosθ，故OB＝
10
cosθ，又OP=10-10tanθ，
所以y＝OA+OB+OP＝
10
cosθ+
10
cosθ+10−10tanθ，
所求函数关系式为y＝
20−10sinθ
cosθ+10(0≤θ≤
π
4)
②若OP=x（km），则OQ=10-x，所以OA=OB=
(10−x)2+102＝
x2−20x+200
所求函数关系式为y＝x+2
x2−20x+200(0≤x≤10)
（Ⅱ）选择函数模型①，y′＝
−10cosθ•cosθ−(20−10sinθ)(−sinθ)
cos2θ＝
10(2sinθ−1)
cos2θ
令y′=0得sinθ＝
1
2，因为0＜θ＜
π
4，所以θ=[π/6]，
当θ∈(0，
π
6)时，y′＜0，y是θ的减函数；当θ∈(
π
6，
π
4)时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=[π/6]时，ymin＝10+10
点评：
本题考点： 在实际问题中建立三角函数模型．
考点点评： 本小题主要考查函数最值的应用．
①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．
②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．
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