已知a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，求证：（[1/a]-1）（[1/b]-1）（[1/c]-1）≥8．

j19id 1年前 已收到2个回答 举报
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眼泪后的彩虹 幼苗

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解题思路：先将待证不等式的左边通分后，再利用1=a+b+c进行代换，最后利用基本不等式进行了放缩即得．

证明：∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，
∴（[1/a]-1）（[1/b]-1）（[1/c]-1）=
(1−a)(1−b)(1−c)
abc
=
(b+c)(a+c)(a+b)
abc≥
2
bc•2
ac•2
ab
abc=8．
当且仅当a=b=c=[1/3]时等号成立．

点评：
本题考点： 不等式的证明．

考点点评： 本题主要考查了不等式的证明、基本不等式的应用，属于基础题．

1年前

3

bpic 幼苗

共回答了10个问题 举报

因为 a+b+c=1 且a>0 b>0 c>0 所以根据公式得abc<=8
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)=(a+b+c/a-a-b-c)(a+b+c/b-a-b-c)(a+b+c/c-a-b-c)=abc<=8
即可求证

1年前

0
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