平面上的 圆 是 数学分析中的连通集一般如下定义：一个集合E称为连通集,如果其中任意两点P1,P2都能用属于E中的有限条

平面上的 圆 是
数学分析中的连通集一般如下定义：
一个集合E称为连通集,如果其中任意两点P1,P2都能用属于E中的有限条折线连接起来.
那么根据这个定义 圆{(x,y)|x^2+y^2=r^2}应该不是连通集吧?
但是书上又说是连通集.
当然根据拓扑学的定义,圆确实是连通的.但是在数学分析中的概念到底是不是连通呢?和定义又是否一致呢?
日日春天 1年前 已收到1个回答 举报
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俺头发乱了 幼苗

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是连通集呀,为什么“那么根据这个定义 圆{(x,y)|x^2+y^2=r^2}应该不是连通集吧?”呢?
这个圆中任一两点(x1,y1) (x2,y2)都可以连接成一个线段呀,连点坐标想减可以得出一个向量的呀,恰好符合“如果其中任意两点P1,P2都能用属于E中的有限条折线连接起来”这句话呀

1年前 追问

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日日春天 举报

任何一条线段除了端点外的其他点，都不属于这个圆！怎么符合定义？！

举报 俺头发乱了

为什么这个线段除了端点会都不属于这个圆呢？应该是属于这个圆的呀，链接圆内两点的线段应该是在这个圆内的呀

日日春天 举报

首先定义圆是一个点集：O = {(x,y)|x^2+y^2=r^2} O中任意两点的连线都不完全属于O。注意O并不包括内部的点，它也不是一个闭区域（定义自己去翻书）。请仔细看清楚连通的定义！

举报 俺头发乱了

哦，你说的圆的定义的圆周呀！呵呵，如果是圆周的话，不连通，圆盘连通。

日日春天 举报

我也知道按照数分当中的定义是不连通的。你说了等于没说啊。 但是根据拓扑中的定义 圆周不仅是连通的，也是道路连通的。 而且数分书上貌似暗示过圆周是连通的。 我的问题是在数分中与拓扑中确实存在矛盾吗? 其实用脚趾头想也知道，把圆周定义为一个非连通集，本身就是定义的失败。当然在证明一些定理倒是简单点。但是把定义的折线改成曲线可微的曲线。圆周就成连通的了，而且在数分当中的定理可以不失一般性的证明同样成立。

举报 俺头发乱了

拓扑里是连通的，数分里是不连通的，不同的定义当然会有不同的结论呀，这不叫矛盾，数学就是这样子的！同一事物，在不同领域里用不同的定义去描述，结论就是不一样的！
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