已知函数f（x）=[x/x−1]．

解题思路：（1）利用函数单调性的定义，取值、作差、变形、定号下结论，即可证得；
（2）由（1）可知，函数f(x)＝

x

x−1

在[3，4]上为单调递减函数，由此可得函数f(x)＝

x

x−1

在区间[3，4]上的最大值与最小值．

（1）证明：设x₁，x₂为区间（1，+∞）上的任意两个实数，且1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=
x1
x1−1-
x2
x2−1=
x2−x1
(x1−1)(x2−1)
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f(x)＝
x
x−1在（1，+∞）上是单调减函数
（2）由（1）可知，函数f(x)＝
x
x−1在[3，4]上为单调递减函数
所以在x=3时，函数f(x)＝
x
x−1取得最大值[3/2]；在x=4时，函数f(x)＝
x
x−1取得最小值[4/3]．

点评：
本题考点： 函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数单调性的定义，考查利用单调性求函数的最值，掌握函数单调性的证题步骤是关键．