（2009•襄阳）如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是BC上一点，连接A

解题思路：（1）根据垂径定理得到弧AC=弧AD，再根据圆周角定理的推论得到∠F=∠ACH，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；
（2）连接BF，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质证明；
（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为AE：OB，进一步转化为AE：AO的比，再根据半径的长求得OE的长．

（1）证明：∵直径AB⊥CD，
∴

AC＝

AD，
∴∠F=∠ACH，
又∠CAF=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC．

（2）AH•AF=AE•AB．
证明：连接FB，
∵AB是直径，
∴∠AFB=∠AEH=90°，
又∠EAH=∠FAB，
∴Rt△AEH∽Rt△AFB，
∴[AE/AF＝
AH
AB]，
∴AH•AF=AE•AB．

（3）当OE＝
3
2时，S_△AEC：S_△BOD=1：4．
理由：∵直径AB⊥CD，
∴CE=ED，
∵S_△AEC=[1/2]AE•EC，
S_△BOD=[1/2]OB•ED，
∴
S△AEC
S△BOD=

1
2×AE×EC

1
2×OB×ED=[AE/OB]=[1/4]，
∵⊙O的半径为2，
∴[2−OE/2＝
1
4]，
∴8-4OE=2，
∴OE=[3/2]．
即当点E距离点O [3/2]时S_△AEC：S_△BOD=1：4．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的面积；垂径定理；圆周角定理．

考点点评： 能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形的判定和性质．