已知点M（4，0），点P在曲线y2=8x上运动，点Q在曲线（x-2）2+y2=1上运动，则|PM|2|PQ|的最小值是_

解题思路：设圆心为F，则容易知道F为抛物线y²=8x的焦点，并且

|PM|2

|PQ|

最小时，PM经过圆心F，设P（x，y），则：
|PM|²=（x-4）²+y²=（x-4）²+8x=x²+16，|PQ|=x+2+1=x+3，所以

|PM|2

|PQ|

＝

x2+16

x+3

，求

x2+16

x+3

的最小值即可．

如下图，设圆心为F，则F为抛物线y²=8x的焦点，该抛物线的准线方程为x=-2，设P（x，y），由抛物线的定义：
|PF|=x+2，要使
|PM|2
|PQ|最小，则|PQ|需最大，如图，|PQ|最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，∴|PQ|=|PF|+1=x+3，且|PM|=
(x−4)2+y2＝
(x−4)2+8x=
x2+16；
∴
|PM|2
|PQ|＝
x2+16
x+3，令x+3=t（t≥3），则x=t-3，∴
|PM|2
|PQ|＝
(t−3)2+16
t＝t+
25
t−6≥4，当t=5时取“=“；
∴
|PM|2
|PQ|的最小值是4．
故答案为：4．

点评：
本题考点： 两点间距离公式的应用；轨迹方程．

考点点评： 考查抛物线的标准方程，焦点坐标公式，准线方程，及抛物线的定义，圆的标准方程，利用基本不等式：a+b≥2ab(a，b＞0)求函数的最值．