（2013•南京二模）选修4-2：矩阵与变换

解题思路：（1）根据题意给出矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ-3）（λ+2），从而解出两个特征值分别为3和-2．再分别将3和-2回代到二元一次方程组，即可解出相应的特征向量．
（2）由（1）的结论得向量β是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量，利用特征向量的定义与性质即可算出A⁵β的值．

（1）矩阵A的特征多项式为f（λ）=
.
λ-3-5
0λ+2.=（λ-3）（λ+2）
令f（λ）=0，得λ=3或λ=-2
将λ=3代入二元一次方程组，得

0•x-5y=0
0•x+5y=0，解之得y=0
∴矩阵A属于特征值3的特征向量为

1
0
将λ=-2代入二元一次方程组，得

-5x-5y=0
0•x+0•y=0，取x=1得y=-1
∴矩阵A属于特征值-2的特征向量为

1
-1 ；
（2）由（1）知，向量β是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量
∴A⁵β=λ⁵β=-32

1
-1

点评：
本题考点： 几种特殊的矩阵变换．

考点点评： 本题给出二阶矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量．着重考查了特征向量的定义、求法及其性质等知识，属于中档题．