已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）为Γ的三个顶点．
已知椭圆Γ的方程为
+
＝1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）为Γ的三个顶点．
（1）若点M满足
＝
(
+
)，求点M的坐标；
（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2＝−
，证明：E为CD的中点；
（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足
+
＝
+
＝
？令a=10，b=5，点P的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点P1、P2满足
+
＝
，求点P1、P2的坐标．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若点M满足
| AM |
| 1 |
| 2 |
| AQ |
| AB |
（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2＝−
| b2 |
| a2 |
（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足
| PP1 |
| PP2 |
| PQ |
| PP1 |
| PP2 |
| PQ |
| PP1 |
| PP2 |
| PQ |
赞 zxyazz 幼苗
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解题思路：（1）由题意知M是B（0，-b）和Q（a，0）的中点，所以M(
，−
)．
（2）由题设条件得方程（a2k12+b2）x2+2a2k1px+a2（p2-b2）=0，所以a2k12+b2-p2＞0是CD的中点；
（3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由
+
＝
知F为P1P2的中点，由此可得P1（-6，-4）、P2（8，3）．
| a |
| 2 |
| b |
| 2 |
（2）由题设条件得方程（a2k12+b2）x2+2a2k1px+a2（p2-b2）=0，所以a2k12+b2-p2＞0是CD的中点；
（3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由
| PP1 |
| PP2 |
| PQ |
（1）∵
AM＝
1
2(
AQ+
AB)，
∴M是B（0，-b）和Q（a，0）的中点，
∴M(
a
2，−
b
2)．
（2）由方程组
y＝k1 x+p
x2
a2+
y2
b2＝1，
消y得方程（a2k12+b2）x2+2a2k1px+a2（p2-b2）=0，
因为直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，
所以△＞0，即a2k12+b2-p2＞0，
设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），则
x0＝
a2k1p
a2k12+b2
y0＝
b2p
a2k12+b2，
由方程组
y＝k1 x+p
y＝k2 x，消y得方程（k2-k1）x=p，
又因为k2＝−
b2
a2k1，
所以
x＝
p
x2−x1＝x0
y＝k2x＝y0，
故E为CD的中点；
（3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，
所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，
由
PP1+
PP2＝
PQ知F为P1P2的中点，
根据（2）可得直线l的斜率k1＝−
b2
a2k2，
从而得直线l的方程．F(1，−
1
2)，
直线OF的斜率k2＝−
1
2，
直线l的斜率k1＝−
b2
a2k2＝
1
2，
解方程组
y＝
1
2x−1
x2
100+
y2
25＝1，消y：x2-2x-48=0，
解得P1（-6，-4）、P2（8，3），或P1（8，3）、P2（-6，-4），．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；中点坐标公式．
考点点评： 本题考查直线的圆锥曲线的综合问题，解题时要注意公式的灵活运用．
1年前
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