设函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．
| 设函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）． （1）证明：f（0）=1； （2）证明：f（x）在R上是增函数； （3）设集合A={（x，y）|f（x 2 ）•f（y 2 ）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+c）=1，c∈R}，若A∩B=φ，求c的取值范围． |
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（1）证明：设x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）证明：∵对x 1 ，x 2 ∈R，x 1 ＜x 2 ，，有x 2 -x 1 ＞0
∴f（x 2 ）=f（x 1 +x 2 -x 1 ）=f（x 1 ）•f（x 2 -x 1 ）中有f（x 2 -x 1 ）＞1
由已知可，得当x 1 ＞0时，f（x 1 ）＞1＞0
当x 1 =0时，f（x 1 ）=1＞0
当x 1 ＜0时，f（x 1 ）•f（-x 1 ）=f（x 1 -x 1 ）=f（0）=1
又∵f（-x 1 ）＞1∴0＜f（x 1 ）＜1
故对于一切x 1 ∈R，有f（x 1 ）＞0
∴f（x 2 ）=f（x 1 ）•f（x 2 -x 1 ）＞f（x 1 ），故命题得证．
（3）解由f（x 2 +y 2 ）＜f（1），则由单调性知x 2 +y 2 ＜1．
由f（x+y+c）=f（0）=1和函数单调性知x+y+c=0，
若A∩B=φ，则只要圆x 2 +y 2 =1与直线x+y+c=0相离或相切即可，故
|c|
2 ≥1．
∴c≥
2 或c≤ -
2
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）证明：∵对x 1 ，x 2 ∈R，x 1 ＜x 2 ，，有x 2 -x 1 ＞0
∴f（x 2 ）=f（x 1 +x 2 -x 1 ）=f（x 1 ）•f（x 2 -x 1 ）中有f（x 2 -x 1 ）＞1
由已知可，得当x 1 ＞0时，f（x 1 ）＞1＞0
当x 1 =0时，f（x 1 ）=1＞0
当x 1 ＜0时，f（x 1 ）•f（-x 1 ）=f（x 1 -x 1 ）=f（0）=1
又∵f（-x 1 ）＞1∴0＜f（x 1 ）＜1
故对于一切x 1 ∈R，有f（x 1 ）＞0
∴f（x 2 ）=f（x 1 ）•f（x 2 -x 1 ）＞f（x 1 ），故命题得证．
（3）解由f（x 2 +y 2 ）＜f（1），则由单调性知x 2 +y 2 ＜1．
由f（x+y+c）=f（0）=1和函数单调性知x+y+c=0，
若A∩B=φ，则只要圆x 2 +y 2 =1与直线x+y+c=0相离或相切即可，故
|c|
2 ≥1．
∴c≥
2 或c≤ -
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1年前
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你能帮帮他们吗