（2013•海口二模）已知函数f（x）=ex-kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．

解题思路：（1）由题意可知，要确定函数的单调区间，先求出函数的导函数，令其大于零求出函数的增区间；令其小于零求出函数的减区间，从而得出函数有最小值即可证得结论；
（II）判断得出f（|x|）是偶函数，关于y轴对称．f（|x|）＞0成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立，由f'（x）=e^x-k得x=lnk，讨论k的单调区间保证f（x）＞0对任意x≥0成立，最后确定出k的范围即可．

（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^x-ex，所以f'（x）=e^x-e．
由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞）
由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．
所以函数有最小值f（1）=e-e=0，所以f（x）≥0恒成立．
（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．
由f'（x）=e^x-k=0得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0．
此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．
当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （0，lnk） lnk （lnk，+∞）
f'（x） - 0 +
f（x） 单调递减 极小值 单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依题意，k-klnk＞0，又k＞1，故1＜k＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是（0，e）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评： 考查学生利用导数研究函数单调性的能力．利用导数研究函数极值的能力，函数恒成立的条件．